17579. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
углы при вершинах B
, C
и D
равны 30^{\circ}
, 90^{\circ}
и 120^{\circ}
соответственно. Найдите AB
, если AD=CD=2
.
Ответ. 6.
Решение. Пусть прямые AB
пересекаются в точке E
. Поскольку ADE
— внешний угол равнобедренного треугольника ADC
, то
\angle ADE=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ},
а так как \angle BEC=60^{\circ}
, то треугольник ADE
равносторонний. Значит, AE=AD=CB=2
. Кроме того, гипотенуза BE
прямоугольного треугольника BCE
вдвое больше катета CE
, лежащего против угла 30^{\circ}
, т. е. BE=8
. Следовательно,
AB=BE-AE=8-2=6.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2023-2024, отборочный этап, задача 4, 8 класс