17580. В остроугольном треугольнике ABC
со сторонами AB=4
, AC=3
на медиане AM
отметили точку N
, для которой \angle BNM=\angle MAC
. Найдите BN
.
Ответ. 3.
Решение. На продолжении медианы AM
за точку K
отложим отрезок MK=AM
. Диагонали AK
и BC
четырёхугольника ABKC
точкой пересечения M
делятся пополам, значит, это параллелограмм. Тогда
\angle BKN=\angle BKA=\angle CAN=\angle CAK=\angle BNM,
Значит, треугольник BKN
равнобедренный с основанием KN
. Следовательно,
BN=BK=3.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2023-2024, отборочный этап, задача 8, 8 класс