17586. В треугольник ABC
со сторонами AB=5
, BC=8
, AC=7
вписана окружность с центром в точке O
которая касается сторон AC
и BC
в точках M
и N
соответственно. На прямой MN
отмечена точка K
, для которой угол OAK
равен 60^{\circ}
. Найдите KN
.
Ответ. \frac{6\sqrt{21}}{7}
.
Решение. Через точку A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть эта прямая пересекается с прямой MN
в точке D
. Тогда CMN
и AMD
— подобные равнобедренные треугольники (CM=CN
, AM=AD
).
Проведём биссектрису AK_{1}
треугольника MAD
. Тогда
\angle OAK_{1}=\frac{1}{2}\angle MAD+\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(\angle ACB+\angle BAC)=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC.
Обозначим \angle ABC=\beta
. По теореме косинусов
\cos\beta=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{25+64-49}{2\cdot5\cdot\cdot8}=\frac{1}{2}.
Значит, \beta=60^{\circ}
. Тогда
\angle OAK_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\beta=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}=\angle OAK,
поэтому точка K_{1}
совпадает с K
.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, p
— полупериметр, S
— площадь. Тогда
S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\beta=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3},
S=pr=\frac{1}{2}(5+7+8)r=10r
Из равенства 10r=10\sqrt{3}
находим, что r=\sqrt{3}
. Тогда
BN=r\ctg30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3,~CN=8-3=5,
AM=p-BC=10-8=2,~CM=7-2=5.
Обозначим \angle ACB=\gamma
. По теореме косинусов
\cos\gamma=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{49+64-25}{2\cdot7\cdot8}=\frac{11}{14}~\Rightarrow
MN^{2}=CM^{2}+CN^{2}-2CM\cdot CN\cos\gamma=25+25-2\cdot5\cdot5\cdot\frac{11}{14}=50-\frac{50\cdot11}{14}=\frac{75}{7},
MN=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7}},~\frac{DM}{MN}=\frac{AM}{CM}=\frac{2}{5},~KM=\frac{1}{2}DM=\frac{1}{5}MN.
Следовательно,
KN=\frac{6}{5}MN=\frac{6}{5}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{6\sqrt{21}}{7}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2023-2024, заключительный этап, задача 7, 11 класс