17587. Через точку O
пересечения биссектрис треугольника ABC
, провели прямую KM
параллельно стороне AC
(K
лежит на AB
, M
лежит на BC
). Найдите KM
, если площадь четырёхугольника AKMC
составляет \frac{11}{36}
площади треугольника ABC
, а разность периметров треугольников ABC
и KBM
равна 18.
Ответ. 15.
Решение. Из параллельности KM
и AC
получаем
\angle AOK=\angle OAC=\angle KAO,
поэтому треугольник AKO
равнобедренный, AK=KO
. Аналогично, CM=MO
. Значит,
BK+KM+BM=BK+(KO+OM)+BM=BK+(KA+CM)+BM=
=(BK+KA)+(CM+BM)=AB+BC,
значит, разность периметров треугольников ABC
и KBM
равна
(AB+BC+AC)-(AB+BC)=AC=18.
Заметим, что отношение площадей треугольников KBM
и ABC
равно \frac{25}{36}
, а так как эти треугольники подобны, то коэффициент подобия равен \frac{5}{6}
. Значит, \frac{KM}{AC}=\frac{5}{6}
. Следовательно,
KM=\frac{5}{6}AC=\frac{5}{6}\cdot18=15.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2023-2024, отборочный (заочный) онлайн-этап, задача 6, 9 класс