17588. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса 1, причём AC
— диаметр окружности и BD=AB
. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке P
. Известно, что PC=\frac{2}{5}
. Найдите CD
.
Ответ. \frac{2}{3}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности. Данная окружность описана около равнобедренного треугольника ABD
, поэтому её центр O
лежит на проходящем через вершину B
серединном перпендикуляре к отрезку AD
. В то же время, CD\perp AD
, так как вершина D
лежит на окружности с диаметром AC
. Значит CD\parallel BO
, поэтому треугольники DPC
и BPO
подобны, причём коэффициент подобия равен
\frac{PC}{PO}=\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{2}{5}}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
CD=\frac{2}{3}BO=\frac{2}{3}\cdot1=\frac{2}{3}.
Источник: Мексиканская геометрическая олимпиада. — 2014, задача 2