1759. Докажите, что две различные окружности касаются тогда и только тогда, когда они касаются некоторой прямой в одной и той же точке.
Решение. Пусть M
— единственная общая точка окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
. Докажем, что точка M
лежит на прямой O_{1}O_{2}
. Предположим, что это не так. Тогда точка, симметричная ей относительно прямой O_{1}O_{2}
, также принадлежит обеим окружностям, что противоречит единственности общей точки окружностей.
Прямая, проходящая через точку M
перпендикулярно O_{1}O_{2}
, является касательной к каждой из окружностей. Таким образом, доказано, что если окружности касаются, то существует прямая, которой они касаются в одной и той же точке.
Пусть теперь окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются некоторой прямой l
в точке M
. Тогда радиусы O_{1}M
и O_{2}M
перпендикулярны l
, значит, точка M
лежит на прямой O_{1}O_{2}
. Предположим, что окружности имеют ещё одну общую точку K
, отличную от M
. Тогда точка, симметричная точке K
относительно прямой O_{1}O_{2}
, также принадлежит обеим окружностям, что невозможно, так как две различные окружности не могут иметь три общие точки.
Таким образом, мы доказали, что если существует прямая, касающаяся каждой из двух различных окружностей в одной и той же точке, то эта точка — единственная общая точка окружностей, т. е. окружности касаются.