17591. Точки P
и Q
лежат на сторонах соответственно BC
и CD
правильного пятиугольника ABCDE
, причём \angle APQ=90^{\circ}
и \angle PAQ=36^{\circ}
. Найдите \angle QED
.
Ответ. 18^{\circ}
.
Решение. Пусть P'
и M
— середины сторон BC
и CD
соответственно. Тогда AP'ME
— равнобедренная, а значит, вписанная трапеция. Пусть Q'
— вторая точка пересечения описанной окружности этой трапеции со стороной CD
. Поскольку \angle AMQ'=90^{\circ}
, отрезок AQ'
— диаметр окружности, поэтому \angle AP'Q'=90^\circ
.
Далее получаем
\angle AQ'P'=\angle AEP'=\angle P'ED=\frac{1}{2}\cdot108^{\circ}=54^{\circ},
откуда
\angle P'AQ'=180^{\circ}-90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}.
Таким образом, P'
и Q'
— это точки соответственно P
и Q
из условия задачи. Следовательно,
\angle QED=\angle PED-\angle PEQ=\angle PED-\angle PAQ=54^{\circ}-36^{\circ}=18^{\circ}.
Источник: Мексиканская геометрическая олимпиада. — 2021, задача 6