1760. Две окружности касаются внешним (внутренним) образом. Докажите, что сумма (разность) их радиусов равна расстоянию между центрами. Верно ли обратное?
Ответ. Верно.
Решение. Если окружности касаются, то единственная их общая точка M
(точка касания) лежит на линии центров. Если касание внешнее то центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной, проходящей через точку M
. Значит, точка M
лежит между центрами O_{1}
и O_{2}
окружностей, поэтому
O_{1}O_{2}=r+R.
Если касание внутреннее, то центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, проходящей через точку M
, поэтому
O_{1}O_{2}=|R-r|.
Обратно, пусть сумма радиусов r
и R
двух окружностей равна расстоянию между их центрами O_{1}
и O_{2}
. Тогда точка M
отрезка O_{1}O_{2}
, удалённая от точки O_{1}
на расстояние r
, удалена на расстояние R
от точки O_{2}
, значит, M
— общая точка окружностей. Если K
— ещё одна общая точка этих окружностей, то она не лежит на прямой O_{1}O_{2}
, поэтому
O_{1}O_{2}\lt O_{1}K+O_{2}K=r+R,
что невозможно. Аналогично для случая, когда расстояние между центрами окружности равно разности их радиусов.