17600. Пусть AD
, BE
и CF
— высоты треугольника ABC
, G
— точка пересечения прямых AD
и EF
, P
— точка пересечения описанной окружности треугольника DFG
со стороной AB
, отличная от F
, Q
— точка пересечения описанной окружности треугольника DEG
со стороной AC
, отличная E
. Докажите, что прямая PQ
проходит через середину отрезка DG
.
Решение. Рассмотрим случай остроугольного треугольника ABC
(см. рис.).
Обозначим \angle AXB=\gamma
. Тогда (см. задачу 141)
\angle PFD=\angle BFD=\angle AFE=\angle ACB=\gamma,~\angle PGD=\angle PFD=\gamma.
Значит, равные вписанные углы PFD
и PGD
опираются на равные хорды, т. е. DP=PG
.
Аналогично получим, что DQ=QC
. Таким образом, различные точки P
и Q
равноудалены от концов отрезка DG
. Значит, прямая PQ
— серединный перпендикуляр к отрезку DG
. Следовательно, эта прямая проходит через середину отрезка DG
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для тупоугольного треугольника.
Источник: Японские математические олимпиады. — 2016, задача 1