17603. Дан треугольник ABC
, в котором AB=AC
. Точка D
лежит на высоте BH
, причём AB=2BD
и BC=2CD
. Найдите угол BCD
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть \angle ABC=\angle ACB=\beta
, D'
— точка, симметричная точке D
относительно прямой BC
. Тогда
\angle DBD'=2\angle DBC=2\angle HBC=2(90^{\circ}-\beta)=180^{\circ}-2\beta=\angle BAC.
Значит, равнобедренные треугольники DBD'
и ABC
подобны, причём коэффициент подобия равен \frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}
. Тогда DD'=\frac{1}{2}BC=CD
, а так как CD'=CD
, то равнобедренный треугольник DCD'
— равносторонний. Его высота, проведённая из вершины C
является биссектрисой. Следовательно,
\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB=30^{\circ}.
Источник: Японские математические олимпиады. — 2020, задача 2