17607. Дан треугольник ABC
, в котором \angle BAC=40^{\circ}
и \angle BAC=120^{\circ}
. Найдите биссектрису CD
треугольника ABC
, если известно, что разность сторон AB
и BC
равна 4.
Ответ. 4.
Решение. Обозначим BC=x
и AB=y
. По теореме синусов из треугольника ABC
получаем
\frac{\sin\angle ACB}{AB}=\frac{\sin\angle BAC}{BC}~\Rightarrow~\frac{\sin120^{\circ}}{y}=\frac{\sin40^{\circ}}{x}~\Rightarrow~y=\frac{x\sin120^{\circ}}{\sin40^{\circ}}.
Из системы
\syst{y-x=4\\y=\frac{x\sin120^{\circ}}{\sin40^{\circ}},\\}
находим
x=\frac{4\sin40^{\circ}}{\sin120^{\circ}-\sin40^{\circ}}.
Тогда по теореме синусов из треугольника BCD
получаем
\frac{\sin\angle BDC}{BC}=\frac{\sin\angle CBD}{CD}~\Rightarrow~\frac{\sin100^{\circ}}{\frac{4\sin40^{\circ}}{\sin120^{\circ}-\sin40^{\circ}}}=\frac{\sin20^{\circ}}{CD}~\Rightarrow~CD=\frac{8\sin10^{\circ}\sin40^{\circ}}{\sin120^{\circ}-\sin40^{\circ}}=
=\frac{8\cdot\frac{1}{2}(\cos30^{\circ}-\cos50^{\circ})}{\sin120^{\circ}-\sin40^{\circ}}=\frac{4\cdot(\sin120-\sin40^{\circ})}{\sin120^{\circ}-\sin40^{\circ}}=4.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2022, задача 6, 7 класс