17609. Дан правильный шестиугольник ABCDEF
и шесть отрезков с длинами от 1 до 6, расположенные по возрастанию длин, как показано на рисунке (каждый из отрезков внутри шестиугольника образует прямой угол с предыдущим). Найдите сторону шестиугольника.
Ответ. \frac{15}{2}
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A
, направив ось абсцисс по лучу AE
, а ось ординат — по лучу AB
. Тогда вершины A
и D
шестиугольника будут иметь следующие координаты:
A(0;0),~D(2+4+6;-1-3-5),~\mbox{или}~D(12;9).
Тогда большая диагональ AD
равна
AD=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15,
а так как сторона правильного шестиугольника вдвое меньше большой диагонали, то
AB=\frac{1}{2}AD=\frac{15}{2}.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2022, задача 3, 9 класс