17610. Даны два равновеликих равнобедренных треугольника: ABC
с основанием AB
и ABD
с основанием AD
. Найдите угол ADB
, если \angle ACB=90^{\circ}
, а точки и C
и D
расположены по одну сторону от прямой AB
.
Ответ. 15^{\circ}
.
Решение. Пусть AB=BD=2a
, \angle ADB=\alpha
. Тогда AC=BC=a\sqrt{2}
. Тогда условие равенства площадей данных треугольников можно записать в виде
\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot BD\sin\angle AD,~\mbox{или}~2a^{2}=4a^{2}\sin\alpha~\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{1}{2},
а так как угол ABD
тупой, то \alpha=150^{\circ}
. Следовательно, \angle ADB=15^{\circ}
.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2022, задача 5, 8 класс