17617. Дан треугольник ABC
. Окружность пересекает сторону BC
в точках U
и V
, сторону CA
— в точках W
и X
, сторону AB
— в точках Y
и Z
. Точки U
, V
, W
, X
, Y
, Z
расположены на окружности в указанном порядке. Известно, что AY=BZ
и BU=CV
. Докажите, что CW=AX
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр окружности, а K
, L
и M
— середины сторон BC
, CA
и AB
соответственно. Поскольку AY=BZ
и BU=CV
, точки M
и K
— середины отрезков YZ
и UV
соответственно. Значит, перпендикуляр к AB
, проходящий через точку M
является также серединным перпендикуляром к стороне AB
. Аналогично, серединный перпендикуляр к отрезку UV
является серединным перпендикуляром к стороне BC
. Тогда центр O
данной окружности является также центром описанной окружности треугольника ABC
, а значит, прямая OL
— серединный перпендикуляр к стороне AC
. Таким образом, L
— общая середина отрезков XW
и CA
. Следовательно,
AX=AL-XL=CL-WL=CW.
Второй способ. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной окружности и данной точки постоянно (степень точки относительно окружности), поэтому
AX\cdot AW=AY\cdot AZ=BZ\cdot BY=BU\cdot BV=CV\cdot CU=CW\cdot CX.
Следовательно,
AX(AX+XW)=CW(CW+WX)~\Rightarrow~(AX-CW)(AX+CW+WX)=0~\Rightarrow~CW=AX.
Что и требовалось доказать.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2016, задача 2