1762. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются внешним образом в точке K
. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A
и B
и пересекает их общую касательную, проходящую через точку K
, в точке M
. Докажите, что \angle O_{1}MO_{2}=\angle AKB=90^{\circ}
.
Указание. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Решение. O_{1}MO_{2}
— угол между биссектрисами смежных углов, поэтому \angle O_{1}MO_{2}=90^{\circ}
. Поскольку MA=MK=MB
, то точка K
лежит на окружности с диаметром AB
. Следовательно, \angle AKB=90^{\circ}
.