17620. Три точки P
, Q
и R
лежат на окружности \Omega
, причём PQ=PR
и PQ\gt QR
. Точка D
лежит на окружности \Gamma_{1}
с центром P
, проходящей через точки Q
и R
. Окружность \Gamma_{2}
с центром в точке Q
, проходящая через точку R
, вторично пересекает \Gamma_{1}
в точке X
, а окружность \Gamma_{2}
— в точке Y
. Докажите, что точки P
, X
и Y
лежат на одной прямой.
Решение. Вписанные в окружность \Omega
углы QPR
и YPQ
опираются на равные хорды QR
и QY
(радиусы окружности \Gamma_{2}
, поэтому \angle QPR=\angle YPQ
. Вписанные в окружность \Gamma_{1}
углы QPX
и QPR
опираются на равные хорды QR
и QX
(радиусы окружности \Gamma_{2}
, поэтому \angle QPR=\angle YPQ
. Значит, \angle QPX=\angle YPQ
. Следовательно, точки P
, X
и Y
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2018, второй день, задача 6