17621. Пусть A
, B
, C
, D
, E
— пять точек, лежащих на окружности \Omega
, расположенных в указанном порядке. Известно, что AB=CD
, BC=DE
, а хорды AD
и BE
пересекаются в точке P
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника AEP
лежит на окружности \Omega
.
Решение. Поскольку AB=CD
и ABCD
— вписанный четырёхугольник, то ABCD
— равнобедренная трапеция, поэтому AD\parallel BC
. Аналогично, BE\parallel CD
.
Отметим середину O
дуги AE
окружности \Omega
. Тогда OA=OE
. Пусть Q
— вторая точка пересечения прямой AO
с описанной окружностью треугольника AEP
.
Обозначим
\angle BAD=\angle CDA=\angle BPA=\alpha.
Тогда из вписанного четырёхугольника AQEP
получаем
\angle EQO=\angle EQA=180^{\circ}-\angle APE=180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Тогда
\angle ABP=180^{\circ}-\angle BPA-\angle BAP=180^{\circ}-2\alpha,
а так как четырёхугольник ABEO
вписанный, то
\angle QOE=180^{\circ}-\angle AOE=\angle ABE=180^{\circ}-2\alpha.
Значит,
\angle OEQ=180^{\circ}-\angle EQO-\angle QOE=180^{\circ}-\alpha-(180^{\circ}-2\alpha)=\alpha.
Тогда треугольник OQE
равнобедренный, OQ=OE
, а так как OQ=OE=OA
, то O
— центр описанной окружности треугольника AEP
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2019, первый день, задача 3