17626. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle B=\angle C
, \angle D=90^{\circ}
и AB=2CD
. Докажите, что биссектриса угла ACB
перпендикулярна стороне CD
.
Решение. На продолжении стороны CD
за точку D
отложим отрезок DC'=DC
, а через вершину B
проведём прямую, параллельную CD
. Пусть эта прямая пересекает прямые AC
и AC'
в точках X
и Y
соответственно, а E
— точка пересечения прямых AB
и CD
. Углы при стороне BC
этого треугольника равны как смежные с равными углам. Тогда и треугольник AEC'
равнобедренный, так как
AE=AB+BE=CC'+CE=C'E.
Значит, BC\parallel AC'
. Противоположные стороны четырёхугольника BCC'Y
попарно параллельны, значит, это параллелограмм.
Высота AD
треугольника CAC'
является медианой, поэтому этот треугольник равнобедренный, а так как BY\parallel C'E
и BC=YC'=CX
, то и треугольник BCX
равнобедренный с основанием BX
. Тогда его биссектриса, проведённая из вершины C
, перпендикулярна BY
, а значит, и AD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиады стран Бенилюкс. — 2017, задача 3