17629. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
, P
— произвольная точка, лежащая внутри треугольника, для которой \angle CPM=\angle PAB
. Пусть \Gamma
— описанная окружность треугольника ABP
. Прямая MP
второй раз пересекает \Gamma
в точке Q
. Точка R
симметрична точке P
относительно касательной к окружности \Gamma
в точке B
. Докажите, что длина отрезка QR
не зависит от положения точки P
внутри треугольника ABC
.
Решение. Обозначим \angle CPM=\angle PAB=\alpha
Докажем, что QR=BC
. Это и будет означать что длина отрезка QR
не зависит от положения точки P
внутри треугольника ABC
. Покажем, что треугольники BPC
и RBQ
равны по двум сторонам и углу между ними: BP=RB
, PC=BQ
и \angle BPC=\angle RBQ
.
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точки Q
и A
лежат по одну сторону от прямой BP
). Из симметрии получаем, что BP=RB
.
На продолжении медианы PM
треугольника BPC
отложим отрезок MU=PM
. Тогда BPCU
— параллелограмм, поэтому
\angle BUP=\angle UPC=\angle PAB=\angle PQB=\alpha.
Значит, треугольник QBU
равнобедренный. Тогда BQ=BU=PC
.
Пусть T
— середина PR
. Из симметрии и теоремы об угле между касательной и хордой получаем
\alpha=\angle RBT=\angle BPT=\angle BQP.
Заметим, что
\angle TBQ=180^{\circ}-\angle BPQ=\angle BPM,
Поэтому
\angle RBQ=\angle RBT+\angle TBQ=\alpha+\angle BPM=\angle MPC+\angle BPM=\angle BPC.
Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для случая, когда точки Q
и A
лежат по разные стороны от прямой BP
Примечание. Заметим, что точка A
не играет в решении задачи никакой роли, за исключением того, что окружность \Gamma
фиксирована. Поэтому точка P
может лежать вне треугольника ABC
.
Источник: Олимпиады стран Бенилюкс. — 2012, задача 3