17632. Около остроугольного треугольника ABC
описана окружность с центром O
; \Gamma_{B}
— окружность, проходящая через точки и касающаяся прямой AC
; \Gamma_{C}
— окружность, проходящая через точки A
и C
и касающаяся прямой AB
. Произвольная прямая, проходящая через точку A
, вторично пересекает окружности \Gamma_{B}
и \Gamma_{C}
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что OX=OY
.
Решение. Без ограничения общности рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть O_{B}
и O_{C}
— центры окружностей \Gamma_{B}
и \Gamma_{C}
соответственно. Докажем равенство треугольников XO_{B}O
и OO_{C}Y
. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому AO_{B}\perp AC
, а так как линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, то OO_{C}\perp AC
. Значит, AO_{B}\parallel OO_{C}
. Аналогично, AO_{C}\parallel OO_{B}
. Следовательно, AO_{B}OO_{C}
— параллелограмм. Тогда O_{B}X=AO_{B}=OO_{C}
и O_{C}Y=O_{C}A=OO_{B}
. Осталось доказать равенство углов OO_{B}X
и YO_{C}O
.
Заметим, что \angle AO_{B}O=\angle AO_{C}O
, так как AO_{B}OO_{C}
— параллелограмм. Тогда
\angle XO_{B}O=\angle AO_{B}O-\angle AO_{B}X=\angle AO_{C}O-(180^{\circ}-2\angle O_{B}AX)=
=\angle AO_{C}O-180^{\circ}+2(\angle O_{B}AO_{C}-\angle YAO_{C})=
=\angle AO_{C}O-180^{\circ}+2(180^{\circ}-\angle AO_{C}O)-(180^{\circ}-\angle AO_{C}Y)=
=\angle AO_{C}Y-\angle AO_{C}O=\angle OO_{C}Y.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Олимпиады стран Бенилюкс. — 2015, задача 2