17633. Окружность \omega
проходит через вершины B
и C
треугольника ABC
. Она пересекает отрезок AC
в точке D
, отличной от C
, и отрезок AB
в точке E
, отличной от B
. На луче BD
лежит точка K
, BK=AC
, а на луче CE
— точка L
, CL=AB
. Докажите, что центр O
описанной окружности треугольника AKL
лежит на окружности \omega
.
Решение. Пусть M
— середина дуги BC
окружности \omega
, лежащая с точкой A
по одну сторону от прямой BC
. Тогда BM=CM
и BA=CL
, а так как
\angle ABM=\angle EBM=\angle ECM=\angle LCM,
то треугольники ABM
и LCM
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AM=LM
. (Если точка M
совпадает с E
, треугольник ABM
вырождается в отрезок, и в этом случае AM=AB-BM=LC-CM=LM
.)
Аналогично, AM=KM
. Значит, AM=LM=KM
. Следовательно, M
— центр описанной окружности треугольника AKL
.
Источник: Олимпиады стран Бенилюкс. — 2016, задача 4