17634. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, точки D
, E
и F
— середины отрезков AB
, AC
и AH
соответственно. Точки P
и Q
симметричны точкам соответственно B
и C
относительно точки F
.
а) Докажите, что прямые PE
и QD
пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
.
б) Докажите, что прямые PD
и QE
пересекаются на отрезке AH
.
Решение. а) Отрезки AH
и BO
точкой пересечения F
делятся пополам, поэтому BHPA
— параллелограмм. Аналогично, CAQH
— параллелограмм.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а R
— точка, диаметрально противоположная точке A
. Тогда CR\perp AC
, а так как BH\perp AC
, то CR\parallel BH
. Аналогично, BR\parallel CH
, поэтому BRCH
— параллелограмм, а так как BHPA
и BRCH
— параллелограммы, то и RCPA
— параллелограмм. Тогда середина E
его диагонали AC
лежит на прямой PR
. Аналогично, точка D
лежит на прямой QD
. Следовательно, PE
и QD
пересекаются в точке R
, лежащей на описанной окружности треугольника ABC
.
б) Медианы AF
и QE
треугольника CAQ
пересекаются в точке S
, лежащей на медиане AF
и AS=2SF
. Аналогично, медианы AF
и PD
треугольника BAP
пересекаются в той же точке S
. Следовательно, прямые PD
и QE
пересекаются на отрезке AH
.
Источник: Олимпиады стран Бенилюкс. — 2018, задача 3