17635. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
пересекаются в различных точках A
и Z
. Точки B
и C
— центры окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
соответственно. Прямая, содержащая биссектрису внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
вторично пересекает окружность \Gamma_{1}
точке X
, а окружность \Gamma_{2}
— в точке Y
. Докажите, что биссектриса угла BZC
проходит через центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Поскольку треугольники BAX
и CAY
равнобедренные, а луч AX
— биссектриса внешнего угла треугольника ABC
при вершине A
, то
\angle BXA=\angle XAB=\angle CAY=\angle YAC.
Тогда
\angle XBA=180^{\circ}-\angle BAX-\angle AXB=180^{\circ}-\angle CYA-\angle YAC=\angle AZY.
Поскольку угол AZX
вписан в окружность \Gamma_{1}
, а ABX
— соответствующий ему центральный угол этой окружности, то \angle AZX=\frac{1}{2}\angle ABX
. Аналогично, \angle AZY=\frac{1}{2}\angle ACY
. Значит,
\angle AZX=\frac{1}{2}\angle ABX=\frac{1}{2}\angle ABX=\frac{1}{2}\angle ACY=\angle ACY.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника XYZ
. Тогда угол YXZ
вписан в эту окружность, а YOZ
— соответствующий ему центральный угол. Значит,
\angle ABZ=2\angle AXZ=2\angle YXZ=\angle YOZ,
а так как треугольники BZA
и OZY
равнобедренные, то \angle BZA=\angle OZY
. Добавляя (или вычитая) к каждой из частей угол AZO
, получим, что \angle BZO=\angle AZY
. Учитывая, что аналогично, \angle BZA=\angle AZX
, получим
\angle BZO=\angle AZY=\angle XZA=\angle OZC.
Следовательно, биссектриса угла BZC
проходит через точку O
. Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиады стран Бенилюкс. — 2019, задача 3