17637. Четырёхугольник ABXC
вписан в окружность с центром O
. На прямой BX
отмечена точка D
, для которой AD=BD
. На прямой CX
отмечена точка E
, для которой AE=CE
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника DEX
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку OA
.
Решение. Обозначим \angle ABD=\beta
. Тогда
\angle AOX=2\beta,~\angle ACE=\angle ABX=\beta~\Rightarrow~\angle AEC=180^{\circ}-2\beta.
Значит, четырёхугольник AEXO
вписанный. Аналогично, четырёхугольник ADXO
тоже вписанный, а так как около треугольника AXO
можно описать единственную окружность, то в неё вписан пятиугольник AEDXO
. Серединный перпендикуляр к хорде OA
этой окружности проходит через её центр. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Олимпиады стран Бенилюкс. — 2021, задача 3