17638. Вписанная в треугольник ABC
окружность с центром I
касается сторон AB
, AC
и BC
в точках K
, L
и M
соответственно На сторонах AC
и BC
отмечены точки P
и Q
соответственно, причём AP=CL
и BQ=CM
. Докажите, что разность площадей пятиугольника APIQB
и четырёхугольника CPIQ
равна площади четырёхугольника CLIM
.
Решение. Заметим, что AP=CL
, а также равны высоты треугольников API
и CLI
, проведённые из общей вершины I
, поэтому S_{\triangle API}=S_{\triangle CLI}
. Аналогично, S_{\triangle ALI}=S_{\triangle CPI}
. Треугольники ALI
и AKI
равны по трём сторонам, поэтому равны их площади. Значит,
S_{APIC}-S_{\triangle CPI}=S_{\triangle AKI}+S_{\triangle API}-S_{\triangle CPI}=S_{\triangle ALI}+S_{\triangle CLI}-S_{\triangle ALI}=S_{\triangle CLI}.
Аналогично,
S_{BMIK}-S_{\triangle CQI}=S_{\triangle CMI}.
Следовательно,
S_{APIQB}-S_{CPIQ}=S_{APIK}+S_{BMIK}-S_{\triangle CPI}-S_{\triangle CQI}=S_{\triangle CLI}+S_{\triangle CMI}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 1998-1999, финальный этап, задача 3, 10 класс