17639. Пусть C
— внутрення точка отрезка AB
. Равносторонние треугольники ADC
и CEB
построены по одну сторону от прямой AB
. Найдите все точки, которые могут быть серединами отрезков DE
.
Ответ. Средняя линия равностороннего треугольника, построенная на отрезке AB
и параллельная AB
(без концов).
Решение. Пусть F
— середина отрезка DE
. Продолжим отрезки AD
и BE
до пересечения в точке G
. Положение точки G
не зависит от точки C
, а ECDG
— параллелограмм с центром F
.
Если точка C
перемещается по отрезку BC
от A
до B
, точка F
перемещается от середины AG
до середины BG
по отрезку, соединяющему эти середины. Из условия задачи следует, что сами эти середины исключаются.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 1998-1999, финальный этап, задача 5, 10 класс