1764. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой в данной точке.
Ответ. Прямая без точки.
Указание. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Решение. Пусть окружность с центром O
касается данной прямой l
в данной точке M
. Поскольку радиус OM
, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной l
, точка O
лежит на прямой m
, проходящей через точку M
перпендикулярно прямой l
.
Возьмём теперь на прямой m
произвольную точку A
, отличную от M
. Тогда окружность с центром A
и радиусом AM
касается прямой l
в точке M
. Мы доказали, что, во-первых, центр любой окружности, касающейся прямой l
в точке M
, лежит на прямой m
, во-вторых, что каждая точка прямой m
, отличная от M
, является центром окружности, касающейся прямой l
в точке M
. Следовательно, прямая m
без точки M
есть искомое геометрическое место точек.