17640. Для данного треугольника ABC
докажите, что точка X
на стороне AB
удовлетворяет условию
\overrightarrow{XA}\cdot\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC}\cdot\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}
тогда и только тогда, когда CX
— высота или медиана треугольника ABC
(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}
— скалярное произведение векторов \overrightarrow{u}
и \overrightarrow{v}
).
Решение. Поскольку \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{XA}-\overrightarrow{XC}
и \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{XB}-\overrightarrow{XC}
, условие задачи равносильно условию
\overrightarrow{XA}\cdot\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC}\cdot\overrightarrow{XC}=(\overrightarrow{XA}-\overrightarrow{XC})\cdot(\overrightarrow{XB}-\overrightarrow{XC})~\Leftrightarrow~\overrightarrow{XC}\cdot(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB})=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{XC}\perp(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}).
Первое условие из полученных условий выполняется тогда и только тогда, когда X
— середина AB
. Второе — тогда и только тогда, когда X
— основание высоты треугольника.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 1998-1999, финальный этап, задача 3, 11 класс