17645. Точки C_{1}
и C_{2}
отмечены на стороне AB
треугольника ABC
, точки A_{1}
и A_{2}
— на стороне BC
, точки B_{1}
, B_{2}
— на стороне CA
, причём эти точки разбивают стороны треугольника на три равные части. Известно, что все шесть отмеченных точек лежат на одной окружности. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Пусть отмеченные точки расположены так, как указано на рисунке:
AC_{1}=C_{1}C_{2}=C_{2}B,~BA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}C,~CB_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}A.
Тогда
\angle BA_{1}C_{2}=\angle BA_{2}C_{1}=\angle BC_{2}A_{1},~\angle BC_{2}A_{1}=\angle BC_{1}A_{2}=\angle BAC.
Точки A_{1}
, A_{2}
, C_{1}
и C_{2}
лежат на одной окружности, поэтому
\angle BA_{2}C_{1}=180^{\circ}-\angle AC_{2}A_{1}=\angle BC_{1}A_{2}.
Тогда \angle BCA=\angle BAC
. Аналогично, \angle BAC=\angle CBA
. У треугольника ABC
все углы равны, значит, все его стороны равны. Следовательно, треугольник равносторонний.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2000-2001, задача 3