17646. Окружность радиуса 10 касается двух смежных сторон квадрата и пересекает две его другие стороны в концах диаметра. Найдите сторону квадрата.
Ответ. 10+5\sqrt{2}
.
Решение. Пусть окружность с центром O
касается стороны AD
в точке L
и пересекает стороны CB
и CD
в точках M
и N
соответственно. Обозначим через a
сторону квадрата.
Пусть P
— середина стороны BC
. Тогда CDKP
и ABPK
— прямоугольники, поэтому
OP=KP-OK=CD=a-10,~CP=DK=AD-AK=AD-AL=a-10.
Из прямоугольного равнобедренного треугольника CPO
получаем
OC=CP\sqrt{2},~\mbox{или}~10=(a-10)\sqrt{2},
откуда находим, что a=10+5\sqrt{2}
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2001, задача 3, 9 класс