17647. В треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
вписана окружность с центром I
и радиусом r
. Лучи AI
и BI
пересекают катеты BC
и AC
в точках D
и E
соответственно. Докажите, что
\frac{1}{BD}+\frac{1}{AE}=\frac{1}{r}.
Решение. Заметим, что I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Обозначим \angle IAE=\angle BAI=\alpha
и \angle DBI=\angle IBA=\beta
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle EIA=\angle BID=\alpha+\beta.
По теореме синусов из треугольников AEI
и BDI
, учитывая равенства r=AI\sin\alpha=BI\sin\beta
, получаем
\frac{AE}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{AI}{\sin\angle AEI}=\frac{\frac{r}{\sin\alpha}}{\sin\angle AEI}=\frac{r}{\sin\alpha\cos\beta}~\Rightarrow~AE=\frac{r\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}.
Из треугольника BDI
аналогично получаем
\frac{BD}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{BI}{\sin\angle IBD}=\frac{r}{\sin\beta\sin\angle IDB}~\Rightarrow~BD=\frac{r\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta\cos\alpha}.
Следовательно,
\frac{1}{BD}+\frac{1}{AE}=\frac{\sin\beta\cos\alpha}{r\sin(\alpha+\beta)}+\frac{\sin\alpha\cos\beta}{r\sin(\alpha+\beta)}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{r\sin(\alpha+\beta)}=\frac{1}{r}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2001, задача 3, 12 класс