1765. С помощью циркуля и линейки постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку и высекающую на данной прямой отрезок, равный данному.
Указание. Примените метод геометрических мест точек.
Решение. Предположим, что искомая окружность построена. Пусть O
— её центр, R
— данный радиус, M
— данная точка, AB
— хорда построенной окружности, лежащая на данной прямой l
.
Опустим перпендикуляр OC
на прямую l
. В прямоугольном треугольнике OBC
известна гипотенуза (данный радиус R
) и катет BC
, равный половине данного отрезка. Кроме того, OM=R
. Значит, искомый центр O
принадлежит, во-первых: геометрическому месту точек, удалённых от данной прямой l
на расстояние, равное OC
(две параллельные прямые); во-вторых: геометрическому месту точек, удалённых от данной точки M
на расстояние, равное данному радиусу R
(окружность с центром M
и радиусом R
).
Отсюда вытекает следующее построение. Построив прямоугольный треугольник по гипотенузе R
и катету, равному половине данного отрезка, найдём расстояние от искомого центра O
до данной прямой (второй катет построенного треугольника). Теперь построим первое геометрическое место точек — две прямые, параллельные данной прямой l
и удалённые от неё на расстояние, равное второму катету построенного треугольника. Далее строим окружность с центром M
и радиусом R
. Каждая из точек пересечения построенных геометрических мест есть центр искомой окружности.