17650. Дан равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC
. Известно, что \angle BAC=\alpha
. На боковой стороне AB
отметили точку P
, отличную от B
, а на высоте, проведённой из вершины A
— точку Q
, причём PQ=QC
. Найдите \angle QPC
.
Ответ. \frac{\alpha}{2}
.
Решение. Прямая, содержащая высоту AH
равнобедренного треугольника ABC
, — ось симметрии треугольника. Заметим, что QB=QC=PQ
, поэтому треугольники BQC
, BQP
и PQC
равнобедренные.
Обозначим,
\angle QBC=\angle QCB=\beta,~\angle QBP=\angle QPB=\gamma,~\angle QPC=\angle QCP=\delta.
Тогда из симметрии \angle QCA=\gamma
. Из треугольников ABC
и PBC
получаем
\alpha+2\beta+2\gamma=180^{\circ}~\mbox{и}~2\delta+2\beta+2\gamma=180^{\circ}.
Следовательно,
\angle QPC=\delta=90^{\circ}-(\beta+\gamma)=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\alpha}{2}.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2002, задача 3, 8-10 классы