17651. Угол B
треугольника ABC
вдвое больше угла C
, а биссектриса угла A
пересекает сторону BC
в точке D
, причём AB=CD
. Найдите угол A
.
Ответ. 72^{\circ}
.
Решение. Пусть AB=CD=a
, \angle C=\alpha
и \angle A=2\beta
. Тогда
\angle CAD=\angle BAD=\beta,~\angle B=2\alpha,~\angle BDA=\alpha+\beta.
По теореме синусов из треугольников ACD
и ABD
получаем
\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{AD}{a}=\frac{\sin2\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)},
откуда
2\sin\beta\cos\alpha=\sin(\alpha+\beta)~\Rightarrow~2\sin\beta\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin\beta\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta~\Rightarrow~\tg\alpha=\tg\beta,
а так как \alpha
и \beta
меньше 90^{\circ}
, то \alpha=\beta
. Значит, 5\beta=180^{\circ}
. Следовательно, \beta=36^{\circ}
, а \angle BAC=2\beta=72^{\circ}
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2002, задача 3, 8-10 классы