17652. Дан ромб ABCD
, в котором \angle DAB=60^{\circ}
. Точки K
и L
лежат на сторонах AD
и DC
, а точка M
— на диагонали AC
, причём KDLM
— параллелограмм. Докажите, что треугольник BKL
равносторонний.
Решение. Из параллельности LM
и AD
получаем
\angle LMC=\angle DAC=\angle DCA=\angle LCM,
поэтому треугольник MLC
равнобедренный, LC=LM=DK
. Тогда треугольники BDK
и BCL
равны по двум сторонам и углу между ними (BD=BC
, KD=LC
, \angle BDK=\angle BCL=60^{\circ}
). Значит, \angle KBD=\angle LBC
и BK=BL
, а так как угол DBL
— общая часть углов KBL
и CBD
, то \angle KBL=\angle DBC=60^{\circ}
. Следовательно, равнобедренный треугольник KBL
— равносторонний.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2002, задача 3, 11-12 классы