17653. Точки K
и L
лежат на сторонах соответственно BC
и CD
квадрата ABCD
, причём \angle AKB=\angle AKL
. Найдите \angle KAL
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Опустим перпендикуляр AM
из точки A
на прямую KL
. Прямоугольные треугольники ABK
и AMK
равны по катету и общей гипотенузе, поэтому AM=AB=AD
. Тогда прямоугольные треугольники AML
и ADL
также равны по катету и общей гипотенузе. Значит,
\angle KAL=\angle KAM+\angle LAM=\angle KAB+\angle DAL,
Следовательно,
2\angle KAL=(\angle KAM+\angle LAM)+(\angle KAB+\angle DAL)=90^{\circ},
откуда \angle KAL=45^{\circ}
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2002, финальный этап, задача 1, 9 класс