17654. Все вершины четырёхугольника ABCD
лежат на окружности \omega
. Лучи AD
и BC
пересекаются в точке K
, а лучи AB
и DC
— в точке L
. Докажите, что описанная окружность треугольника AKL
касается окружности \omega
тогда и только тогда, когда описанная окружность треугольника CKL
касается \omega
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть \omega_{1}
и \omega_{2}
— описанные окружности треугольников AKL
и CKL
соответственно. На общей касательной l_{2}
окружностей \omega
и \omega_{2}
отметим точку P
, лежащую с точкой K
по одну сторону от прямой CD
и точку Q
, лежащую с точкой K
по разные стороны от прямой CD
. Тогда из теоремы об угле между касательной и хордой получаем
\angle KLC=\angle KCP=\angle BCQ=\angle BDC
Значит, KL\parallel BD
, поэтому \angle ADB=\angle AKL
. Следовательно, угол между прямой AB
и касательной к окружности \omega
в точке A
равен углу между прямой AL
и касательной к окружности \omega_{1}
в точке A
. Поскольку точки A
, B
и L
лежат на одной прямой, эти две касательные совпадают, поэтому окружности \omega
и \omega_{1}
касаются в точке A
.
Аналогично доказывается, что касательная к окружности \omega
в точке C
совпадает с касательной к окружности \omega_{2}
в этой точке. Следовательно, окружности \omega
и \omega_{2}
касаются в точке C
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2002, финальный этап, задача 4, 12 класс