17656. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
, в котором \angle ACB=2\angle CAD
и \angle ACD=2\angle BAC
. Докажите, что CA=CB+CD
.
Решение. Обозначим \angle CAD=\alpha
и \angle BAC=\beta
. Тогда \angle ACB=2\alpha
и \angle ACD=2\beta
.
Из условия задачи получаем
3\alpha+3\beta=\angle BCD+\angle BAD=180^{\circ},~\Rightarrow~\alpha+\beta=60^{\circ}.
Пусть R
— радиус описанной окружности четырёхугольника ABCD
. По теореме синусов
CB=2R\sin\beta,~CD=2R\sin\alpha,~CA=2R\sin(\alpha+2\beta).
Достаточно доказать что
\sin\alpha+\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)
при условии \alpha+\beta=60^{\circ}
.
Далее получаем
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=2\cdot\sin30^{\circ}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\beta\right)=
=\cos(30^{\circ}-\beta)=\sin(60^{\circ}+\beta)=\sin((\alpha+\beta)+\beta)=\sin(\alpha+2\beta).
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2002, финальный этап, второй, задача 4