17657. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
пересекаются в различных точках P
и Q
. Общая касательная касается окружностей в точках P
и Q
соответственно. Известно, что точки O_{1}
, A
и Q
лежат на одной прямой и точки O_{2}
, A
и P
лежат на одной прямой. Докажите, что радиусы окружностей равны.
Решение. Прямые O_{1}P
и O_{2}A
параллельны, так как обе они перпендикулярны прямой PQ
. Кроме того, O_{1}P=O_{1}A
и O_{2}Q=O_{2}A
, поэтому
\angle O_{1}PA=\angle PAO_{1}=\angle O_{2}AQ=\angle AQO_{2}.
Тогда
\angle APQ=90^{\circ}-\angle O_{1}PA=90^{\circ}-\angle AQO_{2}=\angle PQA.
Значит, прямоугольные треугольники O_{1}PQ
и O_{2}QP
с общим катетом PQ
подобны. Следовательно, они равны по катету прилежащему острому углу.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2002, предварительный этап, второй, задача 2, до 8 класса