17658. Точки D
, E
и F
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и CF
, причём отрезки AD
, BE
и CF
имеют общую точку P
. Пусть \frac{AP}{PD}=x
, \frac{BP}{PE}=y
и \frac{CP}{PF}=z
. Докажите, что
xyz-(x+y+z)=2.
Решение. Пусть K
и L
— высоты треугольников ABC
и APB
соответственно, прямая, проведённая через точку P
параллельно AB
, пересекает высоту CK
в точке Q
. Тогда
\frac{PF}{CF}=\frac{QK}{CK}=\frac{PL}{CK}=\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ABC}}.
Аналогично,
\frac{PD}{AD}=\frac{S_{\triangle BCP}}{S_{\triangle ABC}}~\mbox{и}~\frac{PE}{BE}=\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle ABC}}.
Поскольку
\frac{PD}{AD}=\frac{1}{1+\frac{AP}{PD}}=\frac{1}{1+x}
и аналогично,
\frac{PE}{BE}=\frac{1}{1+y}~\mbox{и}~\frac{PA}{CA}=\frac{1}{1+z},
то
\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=\frac{S_{\triangle BCP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ABC}}=1,
или
(1+y)(1+z)+(1+x)(1+z)+(1+x)(1+y)=(1+x)(1+y)(1+z),
откуда
xyz-(x+y+z)=2.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2002, предварительный этап, задача 4, до 10 класса