17659. Дан прямоугольник ABCD
, в котором ABI\lt2AD
. Точка E
— середина стороны AB
, точка F
лежит на отрезке CE
, причём \angle CFD=90^{\circ}
. Докажите, что треугольник FAD
равнобедренный.
Решение. Заметим, что прямоугольные треугольники EAD
и EBC
равны по двум катетам. Из точек A
и F
отрезок DE
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром DE
. Вписанные в эту окружность углы AFD
и AED
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Тогда
\angle AFD=\angle AED=\angle BEC.
В то же время (см. задачу 6)
\angle ADF=180^{\circ}-\angle AEF=\angle BEC.
Значит, \angle AFD=\angle ADF
. Следовательно, треугольник FAD
равнобедренный. Что требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2003, финальный этап, задача 3, 9 класс