17660. Дан остроугольный треугольник ABC
, все углы которого больше 45^{\circ}
. Точки X
и Y
лежат на высотах AM
и BN
соответственно, причём MX=MB
и NY=NA
. Докажите, что прямые MN
и XY
параллельны.
Решение. Заметим, что
\angle AXB=180^{\circ}-\angle BXM=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}.
Аналогично, \angle BYA=135^{\circ}
. Из точек X
и Y
, лежащих по одну сторону от прямой AB
, отрезок AB
виден под одним и тем же углом. Значит, AXYB
— вписанный четырёхугольник. Из точек M
и N
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Таким образом,
\angle MXY=180^{\circ}-\angle AXY=\angle ABY=\angle ABN=\angle AMN.
Следовательно, MN\parallel XY
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2003, финальный этап, задача 3, 10 класс