17662. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Точка D
лежит на луче CB
, причём AC\cdot CD=BC^{2}
. Прямая, проведённая через точку D
параллельно AB
, пересекает луч CA
в точке E
. Найдите \angle BEC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Из параллельности AB
и DE
следует, что треугольник EDC
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия равен k=\frac{DC}{BC}
. Из условия получаем, что
\frac{DC}{BC}=\frac{BC}{AC}~\Rightarrow~EC=kAC=AC\cdot\frac{DC}{BC}=AC\cdot\frac{BC}{AC}=BC.
Значит, прямоугольный треугольник BCE
равнобедренный. Следовательно, \angle BEC=45^{\circ}
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2003, финальный этап, задача 3, 12 класс