17663. Дан остроугольный треугольник ABC
, точки O
и H
— центр его описанной окружности и ортоцентр соответственно. Основание A'
высоты AA'
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC
. Найдите отношение \frac{CH}{BO}
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть BB'
— вторая высота данного треугольника. Из условия получаем, что треугольник AA'C
прямоугольный и равнобедренный, так как точка A'
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
. Значит,
\angle A'AC=\angle A'CA=45^{\circ}.
Тогда треугольник BB'C
прямоугольный и равнобедренный, поэтому \angle ACB=45^{\circ}
. Центральный угол AOB
вдвое больше вписанного угла ACB
, т. е.
\angle AOB=2\angle ACB=2\cdot45^{\circ}=90^{\circ}.
Кроме того, OA=OB
как радиусы описанной окружности треугольника ABC
. Значит, и треугольник AOB
прямоугольный и равнобедренный.
Докажем, что \frac{CH}{BO}=\sqrt{2}
, или CH=BO\sqrt{2}
. Для этого достаточно доказать, что AB=CH
. Тогда из равнобедренного прямоугольного треугольника AOB
получим, что
CH=AB=OB\sqrt{2}.
Итак, прямоугольные треугольники ABB'
и CHB'
равны по двум катетам: BB'=B'C
, так как треугольник BB'C
прямоугольный и равнобедренный, а AB'=B'H
, так как треугольник AB'H
прямоугольный и равнобедренный. Значит, AB=CH
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2003, отборочный этап на IMO, второй день, задача 6