17664. В окружности радиуса 1 проведён диаметр AB
. на прямых s
и t
, касающихся окружности в точках A
и B
соответственно, отмечены точки P
и Q
соответственно, причём прямая PQ
касается окружности. Найдите наименьшую возможную площадь четырёхугольника APQB
.
Ответ. 2.
Решение. Пусть прямая касается окружности в точке K
. Четырёхугольник APQB
— трапеция или прямоугольник, поэтому
S_{APQB}=\frac{AP+BQ}{2}\cdot AB=\frac{AP+BQ}{2}\cdot2=AP+BQ.
В то же время, поскольку AP=PK
и BQ=QK
, то
S_{APQB}=PK+QK=PQ\leqslant AB=2,
причём S_{APQB}=2
тогда и только тогда, когда PQ=AB
, т. е. когда APBQ
— прямоугольник. Следовательно, наименьшая возможная площадь четырёхугольника APQB
равна 2.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2004, задача 1, 8-10 классы