17665. Точка O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
, а прямые AO
и BC
пересекаются в точке K
. Точки L
и M
лежат на сторонах AB
и AC
, причём KL=KC
и KM=KC
. Докажите, что LM\parallel BC
.
Решение. Проведём высоты KS
и KT
равнобедренных треугольников KBL
и KCM
. Пусть прямая AO
вторично пересекает окружность в точке P
. Поскольку AP
— диаметр окружности, треугольники ABP
и ACP
прямоугольные. Поскольку KS\parallel PB
и KT\parallel PC
, треугольник ASK
подобен треугольнику ABP
, а треугольник ATK
— треугольнику ACP
, поэтому
\frac{AS}{AB}=\frac{AK}{AP}=\frac{AT}{AC}.
Значит, треугольник AST
подобен треугольнику ABC
, поэтому ST\parallel BC
. Высоты KS
и KT
равнобедренных треугольников KBL
и KCM
, являются их медианами, поэтому LS=SB
и MT=TC
. Следовательно, LM\parallel BC
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2004, первый день, задача 2