17666. Точки D
и E
— середины сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
. Докажите, что биссектрисы углов BDE
и CED
пересекаются на стороне BC
тогда и только тогда, когда сторона BC
равна среднему арифметическому сторон A
и AC
.
Решение. Пусть K
и L
— точки пересечения биссектрис углов соответственно BDE
, CED
со стороной BC
. Поскольку DE\parallel BC
, то
\angle BDK=\angle EDK=\angle BKD~\Rightarrow~BK=BD=\frac{1}{2}AB.
Аналогично, CL=\frac{1}{2}AC
. Значит,
BK+KL=\frac{AB+AC}{2}.
Таким образом,
BC=\frac{AB+AC}{2}~\Leftrightarrow~BC=BK+CL,
что равносильно совпадению точек K
и L
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2004, задача 2, 8-9 классы