17669. Даны две непересекающиеся окружности, причём одна окружность лежит вне другой. Через точку P
, лежащую вне окружностей, проведены две прямые. Первая пересекает одну из окружностей в точках A
и A'
, а вторую — в точках B
и B'
(A
и B
ближе к точке P
, чем A'
и B'
соответственно). Аналогично, вторая прямая пересекает первую окружность в точках C
и C'
, а вторую — в точках D
и D'
. Докажите, что точки A
, B
, C
, D
лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда точки A'
, B'
, C'
, D'
лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку точки A
, A'
, C
, C'
, лежат на одной окружности, то
\angle B'A'C'=\angle AA'C'=\angle ACP=\angle ACD.
Аналогично, \angle C'D'B'=\angle DBA
. Значит, точки A
, B
, C
, D
лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда \angle ACD=\angle DBA
, что равносильно равенству \angle B'A'C'=\angle C'D'B'
. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда точки A'
, B'
, C'
, D'
лежат на одной окружности. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2006, задача 7, 8-10 классы