17670. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
остроугольного треугольника ABC
. Докажите, что если четырёхугольники ABA_{1}B_{1}
, BCB_{1}C_{1}
и CAC_{1}A_{1}
вписанные, то центры их описанных окружностей лежат на сторонах треугольника ABC
.
Решение. Поскольку четырёхугольник BCB_{1}C_{1}
вписан в окружность, то
\angle BB_{1}C=\angle BC_{1}C=\alpha.
Аналогично,
\angle CC_{1}A=\angle CA_{1}A=\beta~\mbox{и}~\angle AA_{1}B=\angle AB_{1}B.
Из системы
\syst{\alpha+\beta=180^{\circ}\\\beta+\gamma=180^{\circ}\\\alpha+\gamma=180^{\circ}\\}
находим, что
\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}.
Тогда отрезки BC
, CA
и AB
— диаметры описанных окружностей четырёхугольников ABA_{1}B_{1}
, BCB_{1}C_{1}
и CAC_{1}A_{1}
Следовательно, центры этих окружностей — середины отрезков BC
, CA
и AB
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2006, задача 12, 8-10 классы