17671. Дан равнобедренный треугольник ABC
, в котором AC=BC
и \angle ACB=120^{\circ}
. Точки D
и E
лежат на стороне AB
, причём AD=DE=EB
. Найдите углы треугольника CDE
.
Ответ. 60^{\circ}
, 60^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Пусть CH
— высота треугольника ABC
, а C'
— точка симметричная вершине C
относительно прямой AB
. Тогда
\angle C'AH=\angle CAH=30^{\circ}.
Поскольку H
— общая середина отрезков AB
и DE
, то
DH=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}AD,
а так как AH
— медиана треугольника ACC'
, то D
— точка пересечения медиан этого треугольника. При этом
\angle CAC'=2\angle CAB=60^{\circ}~\mbox{и}~AC'=AC,
поэтому треугольник ACC'
равносторонний, а его медиана CL
является биссектрисой угла ACC'
. Значит,
\angle DCH=\frac{1}{2}\angle ACL=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ},
а так как CH
— высота равнобедренного треугольника CDE
, то \angle DCE=60^{\circ}
. Тогда равнобедренный треугольник CDR
— равносторонний. Следовательно, все его углы равны 60^{\circ}
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2006, финальный этап, задача 12, 9 класс